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对于平面直角坐标系内任意两点 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，定义它们之间的一种“折线距离”：$d(A,B)=|x_2-x_1|+|y_2-y_1|$．则下列说法正确的个数是 \((\qquad)\)
① 若 $A(-1,3)$，$B(1,0)$，则 $d(A,B)=5$；
② 若点 $C$ 在线段 $AB$ 上，则 $d(A,C)+d(C,B)=d(A,B)$；
③ 在 $\triangle{ABC}$ 中，一定有 $d(A,C)+d(C,B)>d(A,B)$；
④ 在平行四边形 $ABCD$ 中，一定有 $d(A,B)+d(A,D)=d(C,B)+d(C,D)$．
A: $1$ 个
B: $2$ 个
C: $3$ 个
D: $4$ 个
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 方法
    >
    思考方式
    >
    信息迁移
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    解析几何中的基本公式
【答案】
C
【解析】
对于 ①，有\[d(A,B)=|1+1|+|0-3|=5,\]故 ① 正确；
对于 ②，因为点 $C$ 在线段 $AB$ 上，所以\[\begin{split}&|x_C-x_A|+|x_B-x_C|=|x_A-x_B|,\\&|y_C-y_A|+|y_B-y_C|=|y_A-y_B|,\end{split}\]所以$$d(A,C)+d(C,B)=d(A,B).$$故 ② 正确；
对于 ③，取 $A(0,0),B(1,1),C(1,0)$，则有\[d(A,C)+d(C,B)-d(A,B)=1+1-2=0,\]故 ③ 错误；
对于 ④，在平行四边形 $ABCD$ 中，有$$d(A,B)=d(C,D),d(A,D)=d(B,C),$$所以 ④ 正确．
题目 答案 解析 备注
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