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已知函数 $f(x)=x\ln(x-1)-a$，下列说法正确的是 \((\qquad)\)
A: 当 $a=0$ 时，$f(x)$ 没有零点
B: 当 $a<0$ 时，$f(x)$ 有零点 $x_0$，且 $x_0\in(2,+\infty)$
C: 当 $a>0$ 时，$f(x)$ 有零点 $x_0$，且 $x_0\in(1,2)$
D: 当 $a>0$ 时，$f(x)$ 有零点 $x_0$，且 $x_0\in(2,+\infty)$
【难度】
【出处】
无
【标注】
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    函数的零点
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【答案】
D
【解析】
根据题意，函数 $f(x)$ 是 $(1,+\infty)$ 上的单调递增函数．\[\begin{array}{c|ccc}\hline
x&1&2&+\infty\\ \hline
f(x)&-\infty&-a&+\infty\\ \hline
\end{array}\]选项 A，当 $a=0$ 时，函数 $f(x)$ 有零点为 $x=2$；
选项 B，当 $a<0$ 时，函数 $f(x)$ 有唯一零点位于区间 $(1,2)$；
选项 CD，当 $a>0$ 时，函数 $ f(x)$ 有唯一零点位于区间 $(2,+\infty)$．
题目 答案 解析 备注
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