设函数 $f(x)={\mathrm e}^{2x}+{\mathrm e}^x-ax$，若对 $\forall x>0$，$f(x)\geqslant 2$，则实数 $a$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
A
【解析】
函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=2{\rm e}^{2x}+{\rm e}^x-a,\]考虑到 $f(0)=2$，$f'(0)=3-a$，因此讨论分界点为 $a=3$．
情形一 当 $a\leqslant 3$ 时，可得对任意实数 $x\geqslant 0$，有\[f(x)\geqslant {\rm e}^{2x}+{\rm e}^x-3x={\rm e}^{2x}-(2x+1)+{\rm e}^x-(x+1)+2\geqslant 2,\]符合题意．
情形二 当 $a>3$ 时，$f'(0)<0$，而 $f'(x)$ 单调递增，所以必然存在唯一正实数 $x_0$ 使得 $f'(x_0)=0$，此时在区间 $(0,x_0)$ 上有 $f'(x)<0$，$f(x)$ 单调递减，而 $f(0)=2$，不符合题意．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,3]$．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,3]$．
题目
答案
解析
备注
