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已知集合 $M=\{-1,0,1\}$，$N=\{2,3,4,5,6\}$．设映射 $f:M\to N$ 满足：对任意的 $x\in M$，$x+f(x)+xf(x)$ 是奇数．这样的映射 $f$ 的个数为 \((\qquad)\)
A: $25$
B: $45$
C: $50$
D: $100$
【难度】
【出处】
2017年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    集合与映射
    >
    映射
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    加法原理与乘法原理
【答案】
C
【解析】
方法一根据题意，有\[\begin{array}{c|c}\hline
x & x+f(x)+xf(x) \\ \hline -1 & -1 \\ 0 & f(0) \\ 1 & 1+2f(1) \\ \hline \end{array}\]于是只需要将 $0$ 映射到 $3,5$，共有 $2\cdot 5^2=50$ 个．
方法二由\[x+f(x)+xf(x)=(x+1)[f(x)+1]-1,\]为奇数知 $f(x)$ 为奇数或 $x$ 为奇数，从而得到 $f(0)$ 为奇数即可，所以 $f(0)$ 只能取 $3$ 或 $5$，于是映射个数为 $2\cdot 5^2=50$．
题目 答案 解析 备注
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