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若关于 $x$ 的方程 $2^{|x-1|}+a\cos(1-x)=0$ 只有一个实数解，则实数 $a$ 的值 \((\qquad)\)
A: 等于 $-1$
B: 等于 $1$
C: 等于 $2$
D: 不唯一
【难度】
【出处】
2017年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的零点
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的奇偶性
【答案】
A
【解析】
$a$ 有唯一取值 $-1$．
必要性函数 $f(x)=2^{|x-1|}+a\cos (x-1)$ 关于 $x=1$ 对称，因此若函数 $f(x)$ 有唯一零点，则该零点必然为 $x=1$，于是 $a=-1$．
充分性当 $a=-1$ 时，有\[2^{|x-1|}\geqslant 1\geqslant -a\cos (x-1),\]等号当且仅当 $x=1$ 时取得，因此题中方程有唯一零点．
题目 答案 解析 备注
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