设 $A,B,C$ 是三角形的三个内角，则 $\sin A+\sin B\sin C$ 的最大值 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
C
【解析】
根据题意，有\[\begin{split}\sin A+\sin B\cdot \sin C&=\sin A-\dfrac 12[\cos(B+C)-\cos(B-C)]\\
&=\sin A+\dfrac 12\cos A+\dfrac 12\cos(B-C)\\
&\leqslant \sqrt{1^2+\left(\dfrac 12\right)^2}+\dfrac 12\\
&=\dfrac{\sqrt 5+1}2,\end{split}\]等号当 $A=\dfrac{\pi}2-\arctan\dfrac 12$，$B=C$ 时取得．因此所求的最大值为 $\dfrac{1+\sqrt 5}2$．
&=\sin A+\dfrac 12\cos A+\dfrac 12\cos(B-C)\\
&\leqslant \sqrt{1^2+\left(\dfrac 12\right)^2}+\dfrac 12\\
&=\dfrac{\sqrt 5+1}2,\end{split}\]等号当 $A=\dfrac{\pi}2-\arctan\dfrac 12$，$B=C$ 时取得．因此所求的最大值为 $\dfrac{1+\sqrt 5}2$．
题目
答案
解析
备注
