设 $a_1,a_2,\cdots,a_6$ 是 $1,2,3,4,5,6$ 的排列，且满足 $a_1-5a_2+10a_3-10a_4+5a_5-a_6=0$，则这种排列的个数是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
B
【解析】
根据题意，有\[(a_1-a_6)+10(a_3-a_4)+5(a_5-a_2)=0,\]于是 $5\mid a_1-a_6$．考虑到对称性，不妨设 $(a_1,a_6)=(1,6)$（同时将 $a_1,a_6$ 对调，$a_3,a_4$ 对调，$a_5,a_2$ 对调可得其他解）．于是可得\[-1+2(a_3-a_4)+(a_5-a_2)=0,\]因此 $a_5-a_2$ 为奇数，不难推理得可能的解如下表．\[\begin{array}{cccccc}\hline
a_1&a_2&a_3&a_4&a_5&a_6\\ \hline
1 & 5 & 3 & 2 & 4 & 6 \\
1 & 3 & 5 & 4 & 2 & 6 \\
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
\end{array}\]因此所有的解共有 $6$ 个．
a_1&a_2&a_3&a_4&a_5&a_6\\ \hline
1 & 5 & 3 & 2 & 4 & 6 \\
1 & 3 & 5 & 4 & 2 & 6 \\
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
\end{array}\]因此所有的解共有 $6$ 个．
题目
答案
解析
备注
