设函数 $f(x)=\cos(\omega x+\varphi)$（$\omega>0$，$0\leqslant \varphi\leqslant \pi$）是 $\mathbb{R}$ 上的奇函数．若 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=\dfrac{\pi}4$ 对称，则 $f(x)$ 在区间 $\left[0,\dfrac{\pi}{12}\right]$ 上是单调函数，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
BC
【解析】
根据题意，有\[\begin{cases} \varphi=\dfrac{\pi}2,\\
\dfrac{\pi}4\cdot \omega+\varphi=k\pi,\end{cases}\]其中 $k\in\mathbb Z$，于是\[\omega=4k-2,k\in\mathbb N^{\ast}.\]由于 $f(x)$ 区间 $\left[0,\dfrac{\pi}{12}\right]$ 上是单调函数，于是该区间长度不大于 $f(x)$ 的 $\dfrac 14$ 个最小正周期，即\[\dfrac 14\cdot \dfrac{2\pi}{\omega}\geqslant \dfrac{\pi}{12}-0,\]因此\[\omega\leqslant 6.\]从而 $\omega$ 的可能取值有 $2,6$．
\dfrac{\pi}4\cdot \omega+\varphi=k\pi,\end{cases}\]其中 $k\in\mathbb Z$，于是\[\omega=4k-2,k\in\mathbb N^{\ast}.\]由于 $f(x)$ 区间 $\left[0,\dfrac{\pi}{12}\right]$ 上是单调函数，于是该区间长度不大于 $f(x)$ 的 $\dfrac 14$ 个最小正周期，即\[\dfrac 14\cdot \dfrac{2\pi}{\omega}\geqslant \dfrac{\pi}{12}-0,\]因此\[\omega\leqslant 6.\]从而 $\omega$ 的可能取值有 $2,6$．
题目
答案
解析
备注
