设 $x_1,x_2,\cdots,x_{2017}$ 均为正数，且 $\dfrac 1{1+x_1}+\dfrac 1{1+x_2}+\cdots+\dfrac 1{1+x_{2017}}=1$，则 $x_1,x_2,\cdots,x_{2017}$ 中 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
ABC
【解析】
对于选项A和B，用反证法可以证明最多有 $k$ 个 $x_i$ 小于 $k$，其中 $k=1,2,\cdots,2016$．否则\[\dfrac{1}{1+x_1}+\dfrac{1}{1+x_2}+\cdots+\dfrac{1}{1+x_{2017}}>\dfrac{1}{1+k}\cdot (k+1)=1,\]矛盾．
对于选项D，取 $x_1=x_2=\cdots=x_{2017}=2016$ 即可推翻．
对于选项C，若 $\max\{x_1,x_2,\cdots,x_{2017}\}< 2016$，则\[\dfrac{1}{1+x_1}+\dfrac{1}{1+x_2}+\cdots+\dfrac{1}{1+x_{2017}}>\dfrac{1}{1+2016}\cdot 2017=1, \]矛盾．
对于选项D，取 $x_1=x_2=\cdots=x_{2017}=2016$ 即可推翻．
对于选项C，若 $\max\{x_1,x_2,\cdots,x_{2017}\}< 2016$，则\[\dfrac{1}{1+x_1}+\dfrac{1}{1+x_2}+\cdots+\dfrac{1}{1+x_{2017}}>\dfrac{1}{1+2016}\cdot 2017=1, \]矛盾．
题目
答案
解析
备注
