如果数列 $\{x_n\},\{y_n\},\{z_n\}$ 满足 $\begin{cases} x_{n+1}=\dfrac 12\left(y_n+z_n-x_n\right),\\y_{n+1}=\dfrac 12\left(z_n+x_n-y_n\right),\\z_{n+1}=\dfrac 12\left(x_n+y_n-z_n\right),\end{cases} $ 那么 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
BD
【解析】
对于选项 A，当 $(x_1,y_1,z_1)=(0,0,0)$ 时，数列 $\{x_n,y_n,z_n\}$ 不是等比数列．
对于选项 B，根据题意，当 $n\geqslant 2$ 时，有\[x_{n+1}=\dfrac 12\left(y_n+z_n-x_n\right)=\dfrac 12(x_{n-1}-x_n),\]由求数列通项的特征根法，可得 $\{x_n\}$ 的通项为\[x_n=(-1)^n+\dfrac{1}{2^n},n\in \mathbb N^{\ast}.\]对于选项 C，由于当 $n\geqslant 2$ 时，有\[x_{n+1}=\dfrac 12\left(y_n+z_n-x_n\right)=\dfrac 12(x_{n-1}-x_n),\]于是由求数列通项的特征根法，可得 $\{x_n\}$ 的通项为\[x_n=A\cdot (-1)^n+B\cdot \dfrac{1}{2^n},n\in \mathbb N^{\ast},\]若 $\{x_n\}$ 中各项为正数，那么必然有 $A=0$ 且 $B>0$，进而可得\[y_n+z_n=2x_n,\]因此取 $(x_1,y_1,z_1)=\left(2,1,3\right)$，则此时 $\{x_n\}$ 各项为正数，但不满足 $x_1=y_1=z_1$．
对于选项 D，有\[\begin{split} x_n&=y_{n+1}+z_{n+1},\\
y_n&=z_{n+1}+x_{n+1},\\
z_n&=x_{n+1}+y_{n+1},\end{split}\]于是若 $x_m=y_m=z_m=a$，则可得\[x_1=y_1=z_1=2^{m-1}\cdot a.\]
对于选项 B，根据题意，当 $n\geqslant 2$ 时，有\[x_{n+1}=\dfrac 12\left(y_n+z_n-x_n\right)=\dfrac 12(x_{n-1}-x_n),\]由求数列通项的特征根法，可得 $\{x_n\}$ 的通项为\[x_n=(-1)^n+\dfrac{1}{2^n},n\in \mathbb N^{\ast}.\]对于选项 C，由于当 $n\geqslant 2$ 时，有\[x_{n+1}=\dfrac 12\left(y_n+z_n-x_n\right)=\dfrac 12(x_{n-1}-x_n),\]于是由求数列通项的特征根法，可得 $\{x_n\}$ 的通项为\[x_n=A\cdot (-1)^n+B\cdot \dfrac{1}{2^n},n\in \mathbb N^{\ast},\]若 $\{x_n\}$ 中各项为正数，那么必然有 $A=0$ 且 $B>0$，进而可得\[y_n+z_n=2x_n,\]因此取 $(x_1,y_1,z_1)=\left(2,1,3\right)$，则此时 $\{x_n\}$ 各项为正数，但不满足 $x_1=y_1=z_1$．
对于选项 D，有\[\begin{split} x_n&=y_{n+1}+z_{n+1},\\
y_n&=z_{n+1}+x_{n+1},\\
z_n&=x_{n+1}+y_{n+1},\end{split}\]于是若 $x_m=y_m=z_m=a$，则可得\[x_1=y_1=z_1=2^{m-1}\cdot a.\]
题目
答案
解析
备注
