设 $a>0$，$b>0$．若 $a^2+a=3b^2+2b$，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
BCD
【解析】
根据题意，有\[36\left(b+\dfrac 13\right)^2-12\left(a+\dfrac 12\right)^2=1,\]于是该方程对应的曲线是双曲线的一部分，如图．
因此 $\dfrac ba$ 的取值在双曲线在 $O$ 处的切线斜率和双曲线的渐近线斜率之间．考虑到双曲线在 $O$ 处的切线方程\[0\cdot a+\dfrac{a+0}2=3\cdot 0\cdot b+2\cdot \dfrac{b+0}2,\]其斜率为 $\dfrac 12$．因此 $\dfrac 12<\dfrac ba<\dfrac{\sqrt 3}3$．
因此 $\dfrac ba$ 的取值在双曲线在 $O$ 处的切线斜率和双曲线的渐近线斜率之间．考虑到双曲线在 $O$ 处的切线方程\[0\cdot a+\dfrac{a+0}2=3\cdot 0\cdot b+2\cdot \dfrac{b+0}2,\]其斜率为 $\dfrac 12$．因此 $\dfrac 12<\dfrac ba<\dfrac{\sqrt 3}3$．
题目
答案
解析
备注
