因为 $\sin\alpha+\cos\alpha=\dfrac{1}{3}$ ①，所以 $1+2\sin\alpha\cos\alpha=\dfrac{1}{9}$，即 $2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha=-\dfrac{8}{9}$，所以 $1-2\sin\alpha\cos\alpha=(\sin\alpha-\cos\alpha)^2=\dfrac{17}{9}$，因为 $\sin\alpha\cos\alpha<0$ 且 $0<\alpha<\pi$，所以 $\sin\alpha>0$，$\cos\alpha<0$，故 $\sin\alpha-\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{17}}{3}$ ②．由 ① $\times$ ② 可得：$\cos^2-\sin^2=\cos2\alpha=-\dfrac{\sqrt{17}}{9}$，所以 $\sin2\alpha+\cos2\alpha=-\dfrac{8}{9}-\dfrac{\sqrt{17}}{9}=\dfrac{-8-\sqrt{17}}{9}$．