设$$S=\dfrac 1{\log_{\frac 12}\pi}+\dfrac 1{\log_{\frac 13}\pi}+\dfrac 1{\log_{\frac 15}\pi}+\dfrac 1{\log_{\frac 17}\pi},$$则不超过 $S$ 且与 $S$ 最接近的整数为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年北京大学自主招生数学试题
【标注】
【答案】
A
【解析】
根据题意，有\[S=\dfrac{\ln\dfrac 12+\ln\dfrac 13+\ln\dfrac 15+\ln\dfrac 17}{\ln \pi}=-{\log_{\pi}}210,\]一方面有\[{\log_{\pi}}210<{\log_3}210<{\log_3}243<5,\]另一方面有\[{\log_{\pi}}210={\log_{\pi^2}}{210^2}>\lg 44100>4,\]于是不超过 $S$ 且与 $S$ 最接近的整数为 $-5$．
题目
答案
解析
备注
