已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $1$，$P_1,P_2,P_3,P_4$ 是正方形内部的 $4$ 个点使得 $\triangle ABP_1$，$\triangle BCP_2$，$\triangle CDP_3$ 和 $\triangle DAP_4$ 都是正三角形，则四边形 $P_1P_2P_3P_4$ 的面积等于 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年北京大学自主招生数学试题
【标注】
【答案】
A
【解析】
如图．
显然四边形 $P_1P_2P_3P_4$ 是正方形，其对角线长\[P_1P_3=2\cdot \dfrac{\sqrt 3}2\cdot 1 -1=\sqrt 3-1,\]于是其面积为\[\dfrac 12P_1P_3^2=2-\sqrt 3.\]
显然四边形 $P_1P_2P_3P_4$ 是正方形，其对角线长\[P_1P_3=2\cdot \dfrac{\sqrt 3}2\cdot 1 -1=\sqrt 3-1,\]于是其面积为\[\dfrac 12P_1P_3^2=2-\sqrt 3.\]
题目
答案
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