题中方程即\[x{\log_4}3+{\log_4}\left[1+\left(\dfrac 23\right)^x\right]=x{\log_3}4+{\log_3}\left[1-\left(\dfrac 12\right)^x\right],\]也即\[\left({\log_3}4-{\log_4}3\right)x+{\log_3}\left[1-\left(\dfrac 12\right)^x\right]-{\log_4}\left[1+\left(\dfrac 23\right)^x\right]=0,\]左侧函数记为 $\varphi(x)$，则 $\varphi(x)$ 为单调递增函数，且\[\begin{split} \varphi(1)&={\log_3}2-{\log_4}5<{\log_3}3-{\log_4}4=0,\\
\varphi(2)&={\log_3}12-{\log_4}13>{\log_3}9-{\log_4}16=0,\end{split}\]因此题中方程的实根数为 $1$．