在正四棱锥 $P-ABCD$ 中，四个侧面都是等边三角形，用 $\theta$ 记该四棱锥的侧面与底面所成的二面角，则 $\tan^2 \theta$ 等于 ．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
不妨设 $PA=1$，$M$ 是 $AB$ 的中点，$O$ 是正方形 $ABCD$ 的中心．连结 $PM$、$MO$、$OP$．因为 $PM \perp AB, OM \perp AB$，所以 $\angle PMO$ 就是侧面 $PAB$ 与底面 $ABCD$ 所成的二面角．因为 $OM = \dfrac{1}{2}$，$PM=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，所以 $OP = \sqrt{PM^2 -OM^2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$．因此$$ \tan \theta = \tan \angle PMO = \dfrac{OP}{OM} = \sqrt{2}$$
题目
答案
解析
备注
