使得 $x+\dfrac 2x$ 和 $x^2+\dfrac 2{x^2}$ 都是整数的正实数 $x$ 的个数为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年北京大学自主招生数学试题
【标注】
【答案】
A
【解析】
根据题意，有\[\left(x+\dfrac 2x\right)^2=x^2+\dfrac 4{x^2}+4=\left(x^2+\dfrac{2}{x^2}\right)+\dfrac{2}{x^2}+4\]为整数，于是 $\dfrac{2}{x^2}$ 与 $x^2$ 均为整数，从而 $x$ 可能的值为 $1,\sqrt 2$．经验证，只有 $x=1$ 符合题意，因此符合题意的正实数 $x$ 的个数为 $1$．
题目
答案
解析
备注
