设定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(\tan x)=1-2\sin^2x$，则 $f\left(\dfrac1{2018}\right)+$ $f\left(\dfrac1{2017}\right)+$ $\cdots+$ $f\left(\dfrac12\right)$ $+f(0)+f(1)+$ $\cdots+f(2018)$ 等于 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
根据题意由于$$f(\tan x)=1-2\sin^2x=\cos 2x=\dfrac{1-\tan^2x}{1+\tan^2x},$$所以$$f(x)=\dfrac{1-x^2}{1+x^2}.$$而$$\forall x\neq 0,f(x)+f(\dfrac1x)=\dfrac{1-x^2}{1+x^2}+\dfrac{1-\dfrac1{x^2}}{1+\dfrac1{x^2}}=0,$$若记所求表达式为 $M$，则$$M=f(0)=1.$$
题目
答案
解析
备注
