当实数 $m$ 变化时，不在任何直线 $2mx+\left(1-m^2\right)y-4m-4=0$ 上的所有点 $(x,y)$ 形成的图形的面积为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年卓越联盟自主招生试题
【标注】
【答案】
D
【解析】
将直线整理成关于 $m$ 的方程\[ym^2+(4-2x)m+(4-y)=0.\]情形一 若 $y=0$，当且仅当 $x=2$ 时，上述方程无解．
故此时当实数 $m$ 变化时，不在任何直线 $2mx+\left(1-m^2\right)y-4m-4=0$ 上的点有且只有点 $(2,0)$．
情形二 若 $y\ne 0$，原问题等价于上述方程无解，故该方程的判别式\[\Delta=(4-2x)^2-4y(4-y)<0,\]即\[(x-2)^2+(y-2)^2<4.\]综上所述，满足题意的所有点 $(x,y)$ 形成的图形是圆 $(x-2)^2+(y-2)^2=4$ 的内部（不包括边界）以及点 $(2,0)$，因此所求的面积为 $4\pi$．
故此时当实数 $m$ 变化时，不在任何直线 $2mx+\left(1-m^2\right)y-4m-4=0$ 上的点有且只有点 $(2,0)$．
题目
答案
解析
备注
