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设函数 $f(x)=x^4-2x^3+(2+m)x^2-2(1+2m)x+4m+1$．若对任意的实数 $x$，$f(x)\geqslant 0$，则实数 $m$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $[0,+\infty)$
B: $\left[\dfrac 12,+\infty\right)$
C: $[0,1]$
D: $\left[\dfrac 12,1\right]$
【难度】
【出处】
2017年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
  • 题型
    >
    不等式
    >
    恒成立与存在性问题
  • 方法
    >
    代数处理
    >
    分离变量法
【答案】
A
【解析】
根据题意，有\[f(x)=\left(x^2+1\right)(x-1)^2+m(x-2)^2,\]于是命题等价于\[\forall x\in (-\infty,2)\cup (2,+\infty),m\geqslant -\dfrac{\left(x^2+1\right)(x-1)^2}{(x-2)^2},\]因此所求实数 $m$ 的取值范围是 $[0,+\infty)$．
题目 答案 解析 备注
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