设 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，如果不等式 $2x^2+\sqrt3[x]+1>k$ 对于所有实数 $x$ 都成立，那么 $k$ 的最大值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
B
【解析】
设 $f(x)=2x^2+\sqrt 3\cdot [x]+1$，则函数 $f(x)$ 的图象可以借助函数\[\begin{split}g(x)&=2x^2+\sqrt 3\cdot x+1,\\
h(x)&=2x^2+\sqrt 3\cdot (x-1)+1,\end{split}\]得到，如图．
于是函数 $f(x)$ 的下确界为\[\lim_{x\to 0}h(x)=1-\sqrt 3,\]因此所求的 $k$ 的最大值为 $1-\sqrt 3$．
h(x)&=2x^2+\sqrt 3\cdot (x-1)+1,\end{split}\]得到，如图．
于是函数 $f(x)$ 的下确界为\[\lim_{x\to 0}h(x)=1-\sqrt 3,\]因此所求的 $k$ 的最大值为 $1-\sqrt 3$．
题目
答案
解析
备注
