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设 $Ox,Oy$ 是平面内相交成 $45^\circ$ 的两条数轴，$\overrightarrow e_1,\overrightarrow e_2$ 分别是与 $x$ 轴、$y$ 轴正方向同向的单位向量，若向量 $\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow e_1+y\overrightarrow e_2$，则把有序实数对 $(x,y)$ 叫做向量 $\overrightarrow{OP}$ 在仿射坐标系 $xOy$ 中的坐标．若在此仿射坐标下，$\overrightarrow{OA}$ 的坐标为 $(2,0)$，$\overrightarrow{OB}$ 的坐标为 $\left(5,-3\sqrt 2\right)$，则 $\cos\angle AOB$ 为 \((\qquad)\) ．
A: $\dfrac{2\sqrt{13}}{13}$
B: $\dfrac{3\sqrt{13}}{13}$
C: $\dfrac{5\sqrt{43}}{43}$
D: $\dfrac{3\sqrt{86}}{43}$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的运算
    >
    向量的数量积
【答案】
A
【解析】
根据题意，$\overrightarrow e_1\cdot \overrightarrow e_2=\dfrac{\sqrt 2}2$，进而有\[\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow e_1,\overrightarrow{OB}=5\overrightarrow e_1-3\sqrt 2\overrightarrow e_2,\]于是\[\begin{split} |OA|&=2,\\
|OB|&=\sqrt{5^2-30\sqrt 2\overrightarrow e_1\cdot \overrightarrow e_2+\left(3\sqrt 2\right)^2}=\sqrt{13},\\
\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}&=10-6\sqrt 2\overrightarrow e_1\cdot \overrightarrow e_2=4,\end{split}\]因此\[\cos\angle AOB=\dfrac{4}{2\cdot \sqrt{13}}=\dfrac{2\sqrt {13}}{13}.\]
题目 答案 解析 备注
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