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设函数 $f\left( x \right) = \sqrt {{{\mathrm{e}}^x} + x - a} $（$a \in {\mathbb{R}},{\mathrm{e}}$ 为自然对数的底数）．若存在 $b \in \left[0,1\right]$ 使 $f\left(f\left(b\right)\right) = b$ 成立，则 $a$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $\left[ {1,{\mathrm{e}}} \right]$
B: $\left[1,1 + {\mathrm{e}}\right]$
C: $\left[{\mathrm{e}},1 + {\mathrm{e}}\right]$
D: $\left[0,1\right]$
【难度】
【出处】
2013年高考四川卷（文）
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    迭代函数
    >
    不动点
  • 知识点
    >
    函数
    >
    迭代函数
    >
    二阶不动点
  • 题型
    >
    不等式
    >
    恒成立与存在性问题
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    利用导数研究函数的性质
    >
    利用导数研究函数的单调性
【答案】
A
【解析】
由于 $f(x)$ 单调递增，于是问题等价于 $f(x)$ 的图象与直线 $y=x$ 在 $[0,1]$ 上有公共点，即关于 $x$ 的方程\[\sqrt{{\mathrm e}^{x}+x-a}=x\]在 $[0,1]$ 上有解，于是有$$a={\mathrm e}^{x}-x^{2}+x,x\in[0,1].$$记右侧函数为 $g(x)$，则其导函数\[g'(x)={\mathrm e}^{x}-2x+1>0,\]所以 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，从而有 $a$ 的取值范围是 $\left[g(0),g(1)\right]$，也即 $[1,{\mathrm e}]$．
题目 答案 解析 备注
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