查看数据源：59fd7d5703bdb100096fbbf5
若关于 $x$ 的不等式 $x\mathrm{e}^x-ax+a<0$ 的解集为 $(m,n)$（$n<0$），且 $(m,n)$ 中只有一个整数，则实数 $a$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $\left(\dfrac{2}{3\mathrm{e}^2},\dfrac{1}{2\mathrm{e}}\right)$
B: $\left[\dfrac{2}{3\mathrm{e}^2},\dfrac{1}{2\mathrm{e}}\right)$
C: $\left(\dfrac{2}{3\mathrm{e}^2},\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right)$
D: $\left[\dfrac{2}{3\mathrm{e}^2},\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right)$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    利用导数研究函数的性质
    >
    利用导数研究函数的单调性
  • 方法
    >
    代数处理
    >
    半分离变量法
【答案】
B
【解析】
将题中不等式 $x\mathrm{e}^x-ax+a<0$ 分离为$$x\mathrm{e}^x<a(x-1),$$这样题意即曲线 $g(x)=x{\mathrm e}^x$ 在过定点 $(1,0)$ 且斜率为 $a$ 的直线 $y=a(x-1)$ 下方的部分在 $x$ 轴上的投影只包含唯一整数．
由于 $g(x)$ 的导函数$$g'(x)={\rm e}^x(x+1),$$于是 $g(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极小值 $-\mathrm{e}$，如图．结合图象可知，符合题意的唯一整数为 $-1$． 设 $B(-2,g(-2))$，$C(-1,g(-1))$，则 $a$ 的取值范围为从直线 $AB$ 的斜率到直线 $AC$ 斜率的左闭右开区间，也即 $\left[\dfrac{2}{3\mathrm{e}^2},\dfrac{1}{2\mathrm{e}}\right)$．
题目 答案 解析 备注
0.114582s