定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f'(x)-f(x)=x\cdot \mathrm{e}^x$，且 $f(0)=\dfrac12$，则 $\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ 的最大值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
构造函数 $g(x)=\dfrac{f(x)}{\mathrm{e}^x}$，则$$g'(x)=\dfrac{f'(x)-f(x)}{\mathrm{e}^x}=x,$$所以 $g(x)=\dfrac12x^2+c$，其中 $c$ 为常数，因此$$f(x)=\mathrm{e}^x\left(\dfrac12x^2+c\right),$$又 $f(0)=c=\dfrac12$，所以$$f(x)=\dfrac12\mathrm{e}^x(x^2+1) , f'(x)=\dfrac12\mathrm{e}^x(x^2+2x+1),$$因此有$$\dfrac{f'(x)}{f(x)}=\dfrac{x^2+2x+1}{x^2+1}=1+\dfrac{2x}{x^2+1},$$易知当 $x>0$ 时取得最大值，所以$$\dfrac{f'(x)}{f(x)}=1+\dfrac{2}{x+\dfrac1x}\leqslant2,$$故题中所求代数式的最大值为 $2$．
题目
答案
解析
备注
