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设函数 $f(x),g(x)$ 的定义域均为 $D$，又 $h(x)=f(x)+g(x)$．若 $f(x),g(x)$ 的最大值分别是 $M,N$，最小值分别是 $m,n$，则下面的结论中正确的是 \((\qquad)\)
A: $h(x)$ 的最大值是 $M+N$
B: $h(x)$ 的最小值是 $m+n$
C: $h(x)$ 的值域为 $\{x\mid m+n\leqslant x\leqslant M+N\}$
D: $h(x)$ 的值域为 $\{x\mid m+n\leqslant x\leqslant M+N\}$ 的一个子集
【难度】
【出处】
2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的最值和值域
【答案】
D
【解析】
根据题意有\[\begin{split}&m\leqslant f(x)\leqslant M,\\&n\leqslant g(x)\leqslant N,\end{split}\]所以$$m+n\leqslant f(x)+g(x)\leqslant M+N,$$但 $f(x)$ 与 $g(x)$ 不一定同时取到最值，所以 $h(x)$ 的值域为 $\{x\mid m+n\leqslant x\leqslant M+N\}$ 的一个子集．
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