设 $S=\{(x,y)\mid x^2-y^2\in\mathbb Z,x^2-y^2\nmid 2,x,y\in \mathbb R\}$，$T=\left\{(x,y)\mid \sin\left(2\pi x^2\right)-\sin\left(2\pi y^2\right)=\cos\left(2\pi x^2\right)-\cos \left(2\pi y^2\right),x,y\in \mathbb R\right\}$，则集合 $S,T$ 的关系是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
A
【解析】
根据题意，有\[\begin{split} T&=\left\{(x,y)\mid \sin\left(2\pi x^2-\dfrac{\pi}4\right)=\sin\left(2\pi y^2-\dfrac{\pi}4\right),x,y\in\mathbb R\right\}\\
&=\left\{(x,y)\mid \left(x^2-y^2=k\right)\lor\left(x^2+y^2=k+\dfrac 34\right)\right\},\end{split}\]于是\[S\subsetneqq T.\]
&=\left\{(x,y)\mid \left(x^2-y^2=k\right)\lor\left(x^2+y^2=k+\dfrac 34\right)\right\},\end{split}\]于是\[S\subsetneqq T.\]
题目
答案
解析
备注
