已知 $x=\left(\sin\dfrac12\right)^{{\log_{\frac12}}\sin\frac12}$，$y=\left(\cos\dfrac12\right)^{{\log_{\frac12}}\cos \frac12}$，$z=\left(\sin\dfrac12\right)^{{\log_{\frac12}}\cos\frac12}$，则 $x,y,z$ 的大小顺序为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
只需比较 ${\log_{\frac12}}x,{\log_{\frac12}}y,{\log_{\frac12}}z$ 三个数的大小即可，由于$$0<\sin\dfrac12<\cos \dfrac12<1,$$所以$$0<{\log_{\frac12}\cos\dfrac12}<{\log_{\frac12}\sin\dfrac12},$$所以$$\left({\log_{\frac12}\sin\dfrac12}\right)^2>{\log_{\frac12}\sin\dfrac12}\cdot{\log_{\frac12}\sin\dfrac12}>\left({\log_{\frac12}\cos\dfrac12}\right)^2,$$即$${\log_{\frac12}}x>{\log_{\frac12}}z>{\log_{\frac12}}y,$$所以$$x<z<y.$$
题目
答案
解析
备注
