函数 $f(x)=\big|x^2-2\big|-\dfrac 12|x|+|x-1|$ 在区间 $[-1,2]$ 上的最大值与最小值的差位于的区间是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年北京大学自主招生数学试题
【标注】
【答案】
B
【解析】
根据题意，题中函数即\[f(x)=\begin{cases} -x^2-\dfrac 12x+3,& x\in [-1,0),\\
-x^2-\dfrac 32x+3,& x\in [0,1),\\
-x^2+\dfrac 12x+1,&x\in \left[1,\sqrt 2\right),\\
x^2+\dfrac 12x-3,&x\in \left[\sqrt 2,2\right].\end{cases}\]列表如下：\[\begin{array}{c|cccccccc}\hline
x&\left[-1,-\dfrac 14\right)&-\dfrac 14&\left(-\dfrac 14,0\right)&[0,1)&\left[1,\sqrt 2\right)&\sqrt 2&\left(\sqrt 2,2\right)&2\\ \hline
f(x)&\nearrow&\dfrac{49}{16}&\searrow&\searrow&\searrow&1-\dfrac{\sqrt 2}2&\nearrow&2\\ \hline\end{array}\]注意到函数 $f(x)$ 的连续性，所以函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,2]$ 上的最大值为 $\dfrac{49}{16}$，最小值为 $-1+\dfrac{\sqrt 2}2$，它们的差为\[\dfrac{49}{16}-\left(-1+\dfrac{\sqrt 2}2\right)=\dfrac{65}{16}-\dfrac{\sqrt 2}2=3.3\cdots.\]
-x^2-\dfrac 32x+3,& x\in [0,1),\\
-x^2+\dfrac 12x+1,&x\in \left[1,\sqrt 2\right),\\
x^2+\dfrac 12x-3,&x\in \left[\sqrt 2,2\right].\end{cases}\]列表如下：\[\begin{array}{c|cccccccc}\hline
x&\left[-1,-\dfrac 14\right)&-\dfrac 14&\left(-\dfrac 14,0\right)&[0,1)&\left[1,\sqrt 2\right)&\sqrt 2&\left(\sqrt 2,2\right)&2\\ \hline
f(x)&\nearrow&\dfrac{49}{16}&\searrow&\searrow&\searrow&1-\dfrac{\sqrt 2}2&\nearrow&2\\ \hline\end{array}\]注意到函数 $f(x)$ 的连续性，所以函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,2]$ 上的最大值为 $\dfrac{49}{16}$，最小值为 $-1+\dfrac{\sqrt 2}2$，它们的差为\[\dfrac{49}{16}-\left(-1+\dfrac{\sqrt 2}2\right)=\dfrac{65}{16}-\dfrac{\sqrt 2}2=3.3\cdots.\]
题目
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备注
