在圆周上逆时针摆放了 $4$ 个点 $A,B,C,D$，已知 $BA=1$，$BC=2$，$BD=3$，$\angle ABD=\angle DBC$，则该圆的直径为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年北京大学自主招生数学试题
【标注】
【答案】
D
【解析】
由于 $\angle ABD=\angle DBC$，于是 $AD=DC$，记为 $x$，根据托勒密定理，有\[AB\cdot CD+BC\cdot AD=AC\cdot BD,\]代入 $AB,BC,BD$ 的值整理可得\[AC=x.\]于是 $\triangle ACD$ 为圆内接正三角形，如图．
根据余弦定理，有\[AC=\sqrt{AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 120^\circ}=\sqrt 7.\]因此圆的直径为\[\dfrac{AC}{\sin 60^\circ}=\sqrt 7\cdot \dfrac{2}{\sqrt 3}=\dfrac{2\sqrt{21}}3.\]
根据余弦定理，有\[AC=\sqrt{AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 120^\circ}=\sqrt 7.\]因此圆的直径为\[\dfrac{AC}{\sin 60^\circ}=\sqrt 7\cdot \dfrac{2}{\sqrt 3}=\dfrac{2\sqrt{21}}3.\]
题目
答案
解析
备注
