设 $D=\left\{(x,y)\left| x^2+y^2=5\right.\right\}$．若 $z=f(x,y)$ 在 $D$ 上的最大值 $M$ 于点 $(1,2)$ 处取得，则曲线 $f(x,y)=M$ 在点 $(1,2)$ 处的切线方程为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
A
【解析】
设\[F(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda \left(x^2+y^2-5\right),\]则\[\begin{cases}
\left.\dfrac{\partial f}{\partial x}\right|_{x=1}+2\lambda =0,\\
\left.\dfrac{\partial f}{\partial y}\right|_{y=2}+4\lambda =0,
\end{cases}\]于是所求切线方程为\[\left.\dfrac{\partial f}{\partial x}\right|_{x=1}(x-1)+\left.\dfrac{\partial f}{\partial y}\right|_{y=2}(y-2)=0,\]即\[x+2y-5=0.\]
\left.\dfrac{\partial f}{\partial x}\right|_{x=1}+2\lambda =0,\\
\left.\dfrac{\partial f}{\partial y}\right|_{y=2}+4\lambda =0,
\end{cases}\]于是所求切线方程为\[\left.\dfrac{\partial f}{\partial x}\right|_{x=1}(x-1)+\left.\dfrac{\partial f}{\partial y}\right|_{y=2}(y-2)=0,\]即\[x+2y-5=0.\]
题目
答案
解析
备注
