已知 $a$ 是实数，数列 $\{a_n\}$ 的通项 $a_n=\dfrac{n}{n^2+4^\alpha+2^{\alpha+1}+10}$，其中 $n\in\mathbb N^{\ast}$，若 $a_n$ 的最大值是 $\dfrac{1}{10}$，则 $\dfrac{1}{10}$ 是该数列中的 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
B
【解析】
不等式$$\dfrac{n}{n^2+4^{\alpha}+2^{\alpha+1}+10}\leqslant\dfrac{1}{10},$$即$$(n-5)^2+\left(2^{\alpha}-3\right)\cdot\left(2^{\alpha}+5\right)\geqslant0.$$根据题意，该不等式恒成立且等号能够取得，因此 $2^\alpha=3$ 且等号取得时 $n=5$，故 $\dfrac{1}{10}$ 是该数列中的第 $5$ 项．
题目
答案
解析
备注
