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若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都是定义在实数集 $\mathbb R$ 上的函数，且方程 $x-f(g(x))=0$ 有实数解，则 $g(f(x))$ 不可能是 \((\qquad)\)
A: $x^2+x-\dfrac 15$
B: $x^2+x+\dfrac 15$
C: $x^2-\dfrac 15$
D: $x^2+\dfrac 15$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的零点
  • 知识点
    >
    函数
    >
    复合函数
【答案】
B
【解析】
设方程 $x-f(g(x))=0$ 的解为 $a$，则\[f(g(a))=a,\]于是\[g(f(g(a)))=g(a),\]因此 $g(a)$ 是关于 $x$ 的方程\[g(f(x))=x\]的实数解．于是关于 $x$ 的方程\[g(f(x))-x=0\]必然有实数解．
题目 答案 解析 备注
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