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若定义域为 $\mathbb R$ 的函数 $f(x)$ 满足：对一切 $x\in\mathbb R$，恒有 $f(x)=f(2-x)$，且当 $x\geqslant 1$ 时，$f(x)=\dfrac13x^3+x$，则 $f\left(\dfrac13\right),f\left(\dfrac{2}{3}\right),f\left(\dfrac32\right)$ 的大小关系是 \((\qquad)\)
A: $f\left(\dfrac13\right)<f\left(\dfrac23\right)<f\left(\dfrac32\right)$
B: $f\left(\dfrac23\right)<f\left(\dfrac32\right)<f\left(\dfrac13\right)$
C: $f\left(\dfrac23\right)<f\left(\dfrac13\right)<f\left(\dfrac32\right)$
D: $f\left(\dfrac32\right)<f\left(\dfrac23\right)<f\left(\dfrac13\right)$
【难度】
【出处】
2008年第十九届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的单调性
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的对称性
【答案】
B
【解析】
根据题意，有\[f\left(\dfrac 13\right)=f\left(\dfrac 53\right),f\left(\dfrac 23\right)=f\left(\dfrac 43\right),\]又 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递增，于是$$ f\left(\dfrac43\right)<f\left(\dfrac32\right)<f\left(\dfrac{5}{3}\right),$$即$$f\left(\dfrac23\right)<f\left(\dfrac32\right)<f\left(\dfrac13\right).$$
题目 答案 解析 备注
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