考虑到函数 $f(x),g(x),h(x)$ 的图象均关于直线 $x=\dfrac 12$ 对称，于是它们两两交点的横坐标的平均数为 $\dfrac 12$，接下来考虑所有交点的个数，只需要考虑 $\left[\dfrac 12,+\infty\right)$ 上的零点个数．
函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 交点个数考虑\[\varphi(x)=(1-x)^5+x^5-12-{\rm e}^{-\frac 12(2x-1)^2},\]其导函数\[\varphi'(x)=5\left[x^4-(x-1)^4\right]+(4x+2)\cdot {\rm e}^{-\frac 12(2x-1)^2},\]于是函数 $\varphi(x)$ 在 $\left[\dfrac 12,+\infty\right)$ 上单调递增，结合\[\varphi\left(\dfrac 12\right)=\dfrac {1}{16}-12-1<0,\]又\[\varphi(2)=19-{\rm e}^{-\frac 32}>0,\]于是 $\varphi(x)$ 在 $\left(\dfrac 12,+\infty\right)$ 上有 $1$ 个零点．
函数 $f(x)$ 与 $h(x)$ 的交点个数考虑到\[f'(x)==5\left[x^4-(x-1)^4\right],\]于是函数 $f(x)$ 在 $\left[\dfrac 12,+\infty\right)$ 上单调递增，又\[f\left(\dfrac 12\right)<0,f(2)>0,\]于是 $f(x)$ 在 $\left(\dfrac 12,+\infty\right)$ 上有 $1$ 个零点．
函数 $g(x)$ 与 $h(x)$ 的交点个数由于 $g(x)>0$，于是 $g(x)$ 在 $\left(\dfrac 12,+\infty\right)$ 上没有零点．
综上所述，所有公共点共有 $4$ 个，因此它们横坐标之和为 $2$．