若正数 $a,b$ 满足 $\dfrac 1a+\dfrac 1b=1$，则 $\dfrac 1{a-1}+\dfrac{9}{b-1}$ 的最小值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
引入参数，由柯西不等式可得\[\begin{split} \dfrac{1}{a-1}+\dfrac{\lambda^2}{1}&\geqslant \dfrac {(1+\lambda)^2}{a},\\
\dfrac{9}{b-1}+\dfrac{\mu^2}{1}&\geqslant \dfrac{(3+\mu)^2}{b},\end{split}\]考虑取等条件，有\[\begin{cases} \dfrac{1}{a-1}=\lambda,\\
\dfrac{3}{b-1}=\mu,\\
\dfrac 1a+\dfrac 1b=1,\\
1+\lambda =3+\mu,\end{cases}\]解得\[(a,b,\lambda,\mu)=\left(\dfrac 43,4,3,1\right),\]于是有\[\left(\dfrac 1{a-1}+9\right)+\left(\dfrac 9{b-1}+1\right)\geqslant 16\left(\dfrac 1a+\dfrac 1b\right)=16,\]即\[\dfrac 1{a-1}+\dfrac 9{b-1}\geqslant 6,\]于是所求代数式的最小值为 $6$．
\dfrac{9}{b-1}+\dfrac{\mu^2}{1}&\geqslant \dfrac{(3+\mu)^2}{b},\end{split}\]考虑取等条件，有\[\begin{cases} \dfrac{1}{a-1}=\lambda,\\
\dfrac{3}{b-1}=\mu,\\
\dfrac 1a+\dfrac 1b=1,\\
1+\lambda =3+\mu,\end{cases}\]解得\[(a,b,\lambda,\mu)=\left(\dfrac 43,4,3,1\right),\]于是有\[\left(\dfrac 1{a-1}+9\right)+\left(\dfrac 9{b-1}+1\right)\geqslant 16\left(\dfrac 1a+\dfrac 1b\right)=16,\]即\[\dfrac 1{a-1}+\dfrac 9{b-1}\geqslant 6,\]于是所求代数式的最小值为 $6$．
题目
答案
解析
备注
