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若正数 $a,b$ 满足 $\dfrac 1a+\dfrac 1b=1$，则 $\dfrac 1{a-1}+\dfrac{9}{b-1}$ 的最小值为 \((\qquad)\)
A: $1$
B: $6$
C: $9$
D: $16$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 题型
    >
    不等式
    >
    求代数式的最值与范围
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    常用不等式
    >
    均值不等式
  • 知识点
    >
    代数变形
    >
    代数式的形
    >
    分解与展开
【答案】
B
【解析】
根据题意，有\[(a-1)(b-1)=1,\]于是\[\dfrac{1}{a-1}+\dfrac 9{b-1}\geqslant 2\sqrt{\dfrac 1{a-1}\cdot\dfrac 9{b-1}}=6,\]等号当 $a-1=\dfrac 13$，$b-1=3$ 时取得，因此所求代数式的最小值为 $6$．
题目 答案 解析 备注
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