已知递增数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正整数，且 $a_{a_n}=3n$，记 $b_n=a_{2\cdot 3^{n-1}}$，则数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
根据题意，有\[a_{a_1}=3,\]于是 $a_1\ne 1$，从而 $a_1\geqslant 2$，进而\[a_n\geqslant n+1.\]若 $a_1\geqslant 3$，则\[a_{a_1}\geqslant a_3\geqslant 4,\]矛盾，因此 $a_1=2$．
进而 $a_2=3$，$a_{a_2}=a_3=6$，$a_{a_3}=a_6=9$，注意到\[\left\{a_3,a_4,a_5,a_6\right\}=\{6,7,8,9\},\]于是当 $3^1\leqslant n\leqslant 2\cdot 3^1$ 时，有\[a_n=n+3^1,\]进而\[a_{a_6}=a_9=18,a_{a_9}=a_{18}=27,\]于是当 $3^2\leqslant n\leqslant 2\cdot 3^2$ 时，有\[a_n=n+3^2,\]依次类推，当 $3^k\leqslant n\leqslant 2\cdot 3^k$ 时，有\[a_n=n+3^k.\]因此\[b_n=a_{2\cdot 3^{n-1}}=2\cdot 3^{n-1}+3^{n-1}=3^n,\]其前 $n$ 项和\[S_n=\dfrac{3^{n+1}-3}{2}.\]
进而 $a_2=3$，$a_{a_2}=a_3=6$，$a_{a_3}=a_6=9$，注意到\[\left\{a_3,a_4,a_5,a_6\right\}=\{6,7,8,9\},\]于是当 $3^1\leqslant n\leqslant 2\cdot 3^1$ 时，有\[a_n=n+3^1,\]进而\[a_{a_6}=a_9=18,a_{a_9}=a_{18}=27,\]于是当 $3^2\leqslant n\leqslant 2\cdot 3^2$ 时，有\[a_n=n+3^2,\]依次类推，当 $3^k\leqslant n\leqslant 2\cdot 3^k$ 时，有\[a_n=n+3^k.\]因此\[b_n=a_{2\cdot 3^{n-1}}=2\cdot 3^{n-1}+3^{n-1}=3^n,\]其前 $n$ 项和\[S_n=\dfrac{3^{n+1}-3}{2}.\]
题目
答案
解析
备注
