某同学在研究函数 $f(x)=\dfrac x{|x|+1}$（$x\in \mathbb R$）时，分别给出下面几个结论：
① 函数 $f(x)$ 是奇函数；② 函数 $f(x)$ 的值域为 $(-1,1)$；③ 函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上是增函数．
其中正确结论的序号是 \((\qquad)\)
① 函数 $f(x)$ 是奇函数；② 函数 $f(x)$ 的值域为 $(-1,1)$；③ 函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上是增函数．
其中正确结论的序号是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
对于 ①：因为$$f(-x)=\dfrac {-x}{|x|+1}=-f(x),$$且 $f(x)$ 定义域关于原点对称，所以 $f(x)$ 是奇函数，命题 ① 正确．
对于 ②：当 $x\geqslant 0$ 时，$$f(x)=\dfrac x{x+1}=1-\dfrac 1{x+1}<1,$$可知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增且 $f(0)=0$，所以$$0\leqslant f(x)<1.$$结合 $f(x)$ 为奇函数可知，$f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上的值域为 $(-1,1)$．命题 ② 正确．
对于 ③：由 ② 知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，结合 $f(x)$ 为奇函数可得 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上是增函数，命题 ③ 正确．
对于 ②：当 $x\geqslant 0$ 时，$$f(x)=\dfrac x{x+1}=1-\dfrac 1{x+1}<1,$$可知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增且 $f(0)=0$，所以$$0\leqslant f(x)<1.$$结合 $f(x)$ 为奇函数可知，$f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上的值域为 $(-1,1)$．命题 ② 正确．
对于 ③：由 ② 知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，结合 $f(x)$ 为奇函数可得 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上是增函数，命题 ③ 正确．
题目
答案
解析
备注
