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设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，则下列命题正确的是 \((\qquad)\)
A: 若 $f(x)$ 是奇函数，则 $f(f(x))$ 也是奇函数
B: 若 $f(x)$ 是周期函数，则 $f(f(x))$ 也是周期函数
C: 若 $f(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的单调函数，则 $f(f(x))$ 也是 $\mathbb R$ 上的单调函数
D: 若 $f(x)$ 存在反函数 $f^{-1}(x)$，且方程 $f(x)=f^{-1}(x)$ 有零点，则方程 $f(x)=x$ 也有零点
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的奇偶性
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的周期性
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的单调性
  • 知识点
    >
    函数
    >
    反函数
【答案】
ABC
【解析】
选项 ABC 显然正确；
选项 D 的反例为\[f(x)=\begin{cases} -\dfrac 1x,&x\ne 0,-1,\\ 1,&x=0,\\ 0,&x=-1,\end{cases}\]此时\[f^{-1}(x)=\begin{cases} -\dfrac 1x,&x\ne 0,1,\\ -1,&x=0,\\ 0,&x=1.\end{cases}\]
题目 答案 解析 备注
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