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当函数 $y=\sin x-\sqrt3\cos x$ 的图象向右平移 $a(a>0)$ 个单位时，关于 $y$ 轴对称，则 $a$ 的最小值是 \((\qquad)\)
A: $\dfrac{\pi}{3}$
B: $\dfrac{\pi}{6}$
C: $\dfrac{5\pi}{3}$
D: $\dfrac{5\pi}{6}$
【难度】
【出处】
2008年第十九届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
  • 知识点
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    函数
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    函数的图象与性质
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    函数的图象变换
  • 知识点
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    函数
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    常见初等函数
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    三角函数
【答案】
B
【解析】
根据题意有$$y=\sin x-\sqrt3\cos x=2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right),$$向右平移 $a$ 个单位后得到新函数解析式为$$y=2\sin\left(x-a-\dfrac{\pi}{3}\right)$$由于该函数图象关于 $y$ 轴对称，因此当 $x=0$ 时函数取得最大值或最小值，所以$$-a-\dfrac{\pi}3=\dfrac{\pi}2+k\pi,k\in\mathbb Z.$$又 $a>0$，所以 $a$ 的最小值为 $\dfrac{\pi}{6}$．
题目 答案 解析 备注
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