已知一个三角形的面积为 $\dfrac{1}{4}$，且它的外接圆半径为 $1$．设 $a,b,c$ 分别为这个三角形的三条边的边长，令 $u = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$ 且 $v = \sqrt a + \sqrt b + \sqrt c $，则 $u$ 和 $v$ 的关系为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
【答案】
A
【解析】
因为三角形外接圆直径 $d = 2$，所以三角形的面积为$$\dfrac{1}{2}ab\sin C = \dfrac{{abc}}{{2d}} = \dfrac{1}{4},$$于是$$abc = 1,$$所以\[\begin{split} u&=bc+ca+ab\\
&=\dfrac{bc+ca+ab}{\sqrt{abc}}\\
&=\sqrt{\dfrac{bc}a}+\sqrt{\dfrac{ca}b}+\sqrt{\dfrac{ab}c}\\
&\geqslant\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\\
&=v ,\end{split}\]等号取得的条件为\[a=b=c=1,\]此时三角形的面积为 $\dfrac{\sqrt 3}4$，不符合题意，因此 $u > v$．
&=\dfrac{bc+ca+ab}{\sqrt{abc}}\\
&=\sqrt{\dfrac{bc}a}+\sqrt{\dfrac{ca}b}+\sqrt{\dfrac{ab}c}\\
&\geqslant\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\\
&=v ,\end{split}\]等号取得的条件为\[a=b=c=1,\]此时三角形的面积为 $\dfrac{\sqrt 3}4$，不符合题意，因此 $u > v$．
题目
答案
解析
备注
