已知函数 $f(x)=\begin{cases}-1,&x\in \mathbb Q,\\ 1,&x \in \complement_{\mathbb R}{\mathbb Q},\end{cases}$ 若直线 $x=a$ 是函数 $f(x)$ 图象的对称轴，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年第十九届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
C
【解析】
直线 $x=a$ 是函数 $f(x)$ 图象的对称轴等价于\[\forall x\in \mathbb R,f(x)=f(2a-x),\]也即\[\begin{cases} \forall x\in\mathbb Q,2a-x\in\mathbb Q,\\ \forall x\in \mathbb \complement_{\mathbb R}\mathbb Q,2a-x\in\mathbb \complement_{\mathbb R}\mathbb Q,\end{cases}\]即 $a\in\mathbb Q$．
题目
答案
解析
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