在 $Rt\triangle ABC$ 中，三条边的长度均为整数，分别记为 $a,b,c$，其中 $c$ 是斜边长．若 $c=\dfrac{ab}{6}-(a+b)$，则符合条件的直角三角形有 \((\qquad)\) 个．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
根据题意有$$6c=ab-6(a+b),$$所以$$36(a^2+b^2)=[ab-6(a+b)]^2.$$即$$ab-12(a+b)+72=0,$$因式分解可得$$(a-12)(b-12)=72=2^3\cdot3^2.$$又因为 $a,b,c\in\mathbb N^\ast$，且$$c=\dfrac{ab}{6}-(a+b)=\dfrac{12(a+b)-72}{6}-(a+b)=a+b-12.$$所以符合条件的 $Rt\triangle ABC$ 的三边长 $(a,b,c)$ 共有以下六种情况：$$\begin{split} &(13,84,85),(14,48,50),(15,36,39),\\
&(16,30,34),(20,21,29),(18,24,30),
\end{split}$$所以C选项正确．
&(16,30,34),(20,21,29),(18,24,30),
\end{split}$$所以C选项正确．
题目
答案
解析
备注
