已知 $\sin\theta+\cos\theta=\dfrac13,\theta\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$，则 $\theta$ 的值等于 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2006年第十七届"希望杯"全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
D
【解析】
原式两边平方可得$$1+2\sin\theta\cos\theta=\dfrac19,$$所以$$\sin\theta\cos\theta=-\dfrac49,\theta\in\left(-\dfrac{\pi}{2},0\right), $$所以 $\cos \theta-\sin\theta>0$，于是$$\begin{split} \cos\theta-\sin\theta&=\sqrt{(\cos\theta-\sin\theta)^2}\\
&=\sqrt{(\cos\theta+\sin\theta)^2-4\sin\theta\cos\theta}\\
&=\sqrt{\dfrac19+\dfrac{16}{9}}\\
&=\dfrac{\sqrt{17}}{3}, \end{split}$$与 $\cos\theta+\sin\theta=\dfrac13$ 联立可得$$\sin\theta=\dfrac{1-\sqrt{17}}{6},$$所以$$\theta=-\arcsin\dfrac{\sqrt{17}-1}{6}.$$所以D选项正确．
&=\sqrt{(\cos\theta+\sin\theta)^2-4\sin\theta\cos\theta}\\
&=\sqrt{\dfrac19+\dfrac{16}{9}}\\
&=\dfrac{\sqrt{17}}{3}, \end{split}$$与 $\cos\theta+\sin\theta=\dfrac13$ 联立可得$$\sin\theta=\dfrac{1-\sqrt{17}}{6},$$所以$$\theta=-\arcsin\dfrac{\sqrt{17}-1}{6}.$$所以D选项正确．
题目
答案
解析
备注
