已知 $\sin\theta+\cos\theta=\dfrac13,\theta\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$，则 $\theta$ 的值等于 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2006年第十七届"希望杯"全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
D
【解析】
由于$$\sin\theta+\cos\theta=\dfrac13,$$平方后可得$$\sin\theta\cos\theta=-\dfrac49,$$所以 $\sin\theta,\cos\theta$ 是关于 $x$ 的一元二次方程$$x^2-\dfrac13x-\dfrac49=0$$的两个解．解得$$(x_1,x_2)=\left(\dfrac{1-\sqrt{17}}{6},\dfrac{1+\sqrt{17}}{6}\right),$$由于 $\theta\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}2\right)$，所以$$\sin\theta=\dfrac{1-\sqrt{17}}{6},$$所以$$\theta=-\arcsin\dfrac{\sqrt{17}-1}{6}.$$
题目
答案
解析
备注
