$F_1,F_2$ 为椭圆的左，右焦点，$P$ 为椭圆在第一象限上的一点，$\angle F_1PF_2=\dfrac{\pi}2$，且 $|PF_2|<|PF_1|$，已知椭圆的离心率为 $\dfrac{\sqrt6}{3}$，则 $\angle PF_1F_2:\angle PF_2F_1=$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2006年第十七届"希望杯"全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
A
【解析】
根据题意设 $P(x,y)$，$x,y>0$，设 $a,b,c$ 分别为椭圆的半长轴，半短轴，半焦距．不妨令$$(a,c)=(3,\sqrt6),$$则$$b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt3,$$则焦点三角形 $\triangle F_1PF_2$ 的面积$$S=b^2\tan\dfrac{\pi}4=\dfrac12\cdot|F_1F_2|\cdot y.$$于是 $y=\dfrac{\sqrt 6}{2}$，进而 $x=\dfrac{3\sqrt2}{2}$．则$$\tan\angle PF_1F_2=\dfrac{y}{x+c}=2-\sqrt3,$$所以 $\angle PF_1F_2=15^\circ$，于是 $\angle PF_2F_1=75^\circ$．因此A选项正确．
题目
答案
解析
备注
