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当 $\alpha \in \left(0,\dfrac {\pi}{2}\right)$ 时，方程 $\sin \alpha +\cos \alpha=\tan \alpha$ 的实数解的个数是 \((\qquad)\)
A: $0$
B: $1$
C: $2$
D: $3$
【难度】
【出处】
2007年第十八届"希望杯"全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
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    函数
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    函数的图象与性质
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    函数的零点
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    函数的单调性
【答案】
B
【解析】
设函数\[f(x)=\sin x+\cos x-\tan x,\]即\[f(x)=\sqrt 2\sin \left(x+\dfrac{\pi}4\right)-\tan x.\]当 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}4\right]$ 时，有\[f(x)<0,\]没有零点；
当 $x\in\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right)$ 时，有 $f(x)$ 单调递减，且\[f\left(\dfrac{\pi}4\right)>0>f\left(\dfrac{\pi}3\right),\]于是函数 $f(x)$ 在该区间上有唯一零点．
综上所述，题中的方程的实数解个数为 $1$．
题目 答案 解析 备注
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