由 $SC $ 为直径，$\angle ASC = \angle BSC = 45^\circ $，得 $ \triangle ASC $ 和 $\triangle BSC$ 都是等腰直角三角形．
由 $SC =4$，得 $SA=SB=AC=BC=2\sqrt2 $．
因为球心 $O $ 是 $ SC $ 的中点，所以 $ SC\perp OA $，$ SC\perp OB $，从而 $ SC\perp 平面OAB $．
因为 $ OA=OB=AB=2$，所以 $\triangle OAB $ 为正三角形．
因此，棱锥 $S - ABC$ 的体积为\[\begin{split}V &= \dfrac{1}{3}SC \cdot {S_{\triangle OAB}} \\&= \dfrac{1}{3} \times 4 \times \left( {\dfrac{\sqrt 3 }{4} \times {2^2}} \right) \\&= \dfrac{4\sqrt 3 }{3}.\end{split}\]