若双曲线 $x^2-y^2=a^2(a>0)$ 关于直线 $y=x-2$ 对称的曲线与直线 $2x+3y-6=0$ 相切，则 $a$ 的值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2006年第十七届"希望杯"全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
B
【解析】
易知直线 $2x+3y-6=0$ 关于直线 $y=x-2$ 对称的直线方程为$$2(y+2)+3(x-2)-6=0,$$即$$3x+2y-8=0,$$又双曲线方程为$$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{a^2}=1,$$由于直线与双曲线相切，因此等效判别式等于 $0$，即$$\Delta_x=-9a^2+4a^2+64=0,$$又考虑到 $a>0$，所以解得$$a=\dfrac{8\sqrt5}{5}.$$
题目
答案
解析
备注
